Преобразование вида называется преобразованием подобия.

1) G=F^{-1}*A*F
Где F - невырожденная матрица.

Свойство подобия заключается в том, что такое преобразование не изменяет собственных значений матрицы.

Доказательство.

Пусть:

n - есть собственное число g - есть собственный вектор матрицы G

Согласно определению собственных чисел матрицы.

2) n*g=G*g

Подставим 2) в 1)

3) n*g=F^{-1}*A*F*g

Домножим на F слева

F*n*g=F*F^{-1}*A*F*g

n*(F*g)=A*(F*g)

Обозначим (F*g) как a. Это будет вектор.

4) n*a=A*a

Отсюда видно что n является собственным числом матрицы A. Что и требовалось доказать.

Другие преобразования подобия.

G=F^{-1}*A*F

G=F*A*F^{-1}

G=U^{-H}*A*U

G=U*A*U^{-H}

G=Q^{-T}*A*Q

G=Q*A*Q^{-T}

Здесь F - произвольная квадратная матрица. Здесь U - унитарная матрица. Здесь Q - симметрическая матрица.

Легко доказываются с использованием свойств этих матриц. И свойства обратной матрицы.


Список литература:
[1]Р.Хорн, Ч.Джонсон. -Матричный анализ.-Мир(1985)
стр 60. Раздел 1.3
[2]Калиткин Н.Н. Численные методы. 1987 г. издательство «Наука»
http://neo-chaos.narod.ru/useful/nummethod/kalitkin_06_156-193.pdf

 
articles/подобные_преобразования.txt · Последние изменения: 2013/05/12 17:43 От Pavia
 
Recent changes RSS feed Donate Powered by PHP Valid XHTML 1.0 Valid CSS Driven by DokuWiki