Преобразование Фурье

Различают 3 основных вида разложения:

  1. Непрерывное преобразование Фурье.
  2. Ряд Фурье.
  3. Дискретное преобразование Фурье.

Рассмотрим подробнее каждое из них.

Непрерывное преобразование Фурье

F(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-it\omega}\,dt.

Где

i - мнимая единица.
f(t) - функция интегрируемая на всем интервале <math>({-\infty}..{+\infty})</math>

Ряд Фурье

c_w = \int_{-T/2}^{+T/2} f(t)\ e^{-2\pi i(w/T) t} dt.\,

Где :

f(t) - периодическая функция интегрируемая на участке (-{T \over 2}..{T \over 2}).
T - период функции.

c_w - ряд комплексные переменных.

Если у нас функция не непрерывная, то возникает эффект Гиббса.

Дискретное преобразование Фурье

X_w = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{2 \pi i}{N} w n} \qquad k = 0, \dots, N-1

Преобразование над рядом дискретных отсчётов x_n.

В данном случае не требуется чтобы x_n была периодической. Но при этом наблюдается ещё один эффект именуемый растеканием спектра. Так как дискретная функция есть не непрерывная, то всегда присутствует эффект Гиббса 1).

Быстрое преобразование Фурье (БПФ)

Существует множество алгоритмов, которые позволяют ускорить дискретное преобразовании Фурье вплоть до скорости O(n log(n)).

Практическое применения преобразования Фурье

На практике мы можем встречаться с различными функциями. Чаще всего это оцифрованный сигнал. А это значит что функция у нас дискретная. А так как обработка идёт порциями. И зашумлёна, то не является периодической. Поэтому эффект Гиббса и растекание спектра присутствуют всегда. Для борьбы с этими эффектами было предложено использовать оконные функции. А при фильтрации так еще и применять их с перекрытием.

 
audio/fft.txt · Последние изменения: 2011/04/21 19:53 От romtek
 
Recent changes RSS feed Donate Powered by PHP Valid XHTML 1.0 Valid CSS Driven by DokuWiki