====== Определение транспонирования ======

Матрица транспонированная к A обозначается как <math>A^T </math>.

<math>R=A^T</math>

Операция транспонирования определена как смена индексов в матрице. Матрица не обязательно квадратная.

<math>r_{j,i}=a_{i,j}</math>

Соответственно изменяется и число строк и столбцов.\\
Пример,

<math>
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}}  \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 5\\
2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \;
</math>

====== Свойства транспонированных матриц ======
  * <math> (A^T)^T= A</math>
  Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.
  * <math> (A + B)^T = A^T + B^T</math>
  Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.
  * <math> (AB)^T = B^TA^T</math>
  Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.
  * <math> (\lambda A)^T=\lambda A^T</math>
  При транспонировании можно выносить скаляр.
  * <math> \det A = \det A^T</math>
  Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

====== Прямой алгоритм транспонирования. ======

<code Pascal>
procedure Transpose(var R:TMatrixNM; A:TMatrixNM);
var i,j:Integer;
begin
for i:=0 to RowsCount(A)-1 do
 for j:=0 to ColumnsCount(A)-1 do
  R[j,i]:=A[i,j];
end;
</code>

**Входные параметры:**
  * Прямоугольная матрица A. 
**Выходные параметры:**
  * Прямоугольная матрица R.
**Примечание:**\\
  * Память под матрицы A и R должна быть выделена.  Матрица R должна иметь число столбцов равное числу строк матрицы A. Матрица R должна иметь число строк равное числу столбцов матрицы A
  

====== Блочный алгоритм транспонирования ======
<math>A^{T}
=\left[\begin{array}{ccccc} A_1 & A_2 \\ A_3 & A_4 \\ \end{array}\right]^{T}
=
\left[\begin{array}{ccccc} A_1^{T} & A_3^{T} \\ A_2^{T} & A_4^{T} \\ \end{array}\right]
</math>

Матрица A разбивается на 4 под матрицы <math>A_1</math>, <math>A_2</math>, <math>A_3</math>, <math>A_4</math>.
Вначале производиться перестановка подматриц согласно правилу транспонирования, а затем выполняется транспонирования элементов подматриц. Алгоритм продолжается рекурсивно до тех пор пока прямой алгоритм не будет быстрее или не останется 1 элемент.

Блочный алгоритм транспонирования применяется для ускорения транспонирования. Когда доступ к элементам последовательно быстрее чем в произвольном порядке. В современном компьютере есть система кэшей разных уровней, что создаёт такую неравномерность в скорость. 

Наиболее наглядную демонстрацию можно получить для больших матриц не помещающихся в RAM и хранящихся на HDD. 

====== Алгоритм транспонирования на месте. ======


Алгоритм транспонирования на месте или алгоритм без использования дополнительной памяти.

----
Список литературы:\\
[1] Т.С. Хуанг -Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений. \\
[[http://http://books.google.ru/books?id=7OnK5DG_C9MC&lpg=PA20&ots=KCmg7p5mPS&dq=%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%20%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F&hl=ru&pg=PA20#v=onepage&q=%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%20%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F&f=false|библиотека Гугл]]\\
[2] Р.Хорн, Ч.Джонсон. -Матричный анализ.-Мир(1989) \\
стр. 18. Глава 0.2.5