Матрица поворот применяется для вращения системы координат или объекта, сцены.
====== Матрицы поворота вокруг основных осей. ======

====== Матрица поворота вокруг произвольной оси. ======

====== Обобщённая матрица поворота. ======
Хочется задавать положение объекта в пространстве однозначно. Достаточно очевидно что любое положение однозначно определяется 3 поворотами вокруг разных осей. 
Но встаёт вопрос в каком порядке вращать и как выбрать оси?

Обобщённую матрица поворота можно задать по разному. С одной стороны мы можем вращать объект вокруг неподвижных осей. С другой вокруг осей связанных с объектом ещё их называют локальными.
Стоит вспомнить что операции умножения матриц не коммутативна поэтому  для однозначного определения положения нужно знать не только 3 угла, но и схему умножения матриц.

Можно выделить 2 популярные схемы.\\
1) Матрица поворота через углы Эйлера.\\
2) Матрица поворота через углы летательного аппарата (ЛА): рыскание, тангаж и крен(yaw, pitch и roll).\\
В виду того что первая требует большого числа вычислений, то на практике обычно применяют вторую.

====== Матрица поворота через углы Эйлера. ======

Углы Эйлера - три угла однозначно определяющие ориентацию твёрдого тела, определяющие переход от неподвижной системы координат к подвижной. \\ Подвижная система координат это система координат привязанная к телу. Иногда говорят в мороженная в тело.
Прежде чем дать определения углов нам понадобиться ещё одно.
Линия узлов ON - линия пересечение плоскости OXY и Oxy

α (или φ) это угол между осью Оx и осью ON. Диапазон значений [0, 2*Pi) - угол собственного вращения \\
β (или θ) это угол между осью Oz и осью OZ. Диапазон значений [0, 2*Pi) - угол нутации\\
γ (или ψ) это угол между осью ON и осью OX. Диапазон значений [0, Pi) - угол прецессии\\

{{:articles:300px-eulerangles.svg.png| Схема определения углов Эйлера}}
[1],[2]\\
Отсюда виден что порядок вращения будет следующий вначале по оси Z, затем по оси X, и снова по оси Z.

Вспомним умножение матрицы на вектор. Оно используется для перехода в новую систему координат. 1. \\
1. <math>X_{new}=R*X </math> \\
2. <math>X_{new}=R_Z(\alpha)*X </math> \\
3. <math>X_{new}=R_X(\beta)*X </math> \\
4. <math>X_{new}=R_Z(\gamma)*X </math> \\
5. <math>X_{new}=R_Z(\gamma)*R_X(\beta)*R_Z(\alpha)*X </math> \\
Отсюда видно что обобщённая матрица поворота будет равна. \\
6. <math>R=R_Z(\gamma)*R_X(\beta)*R_Z(\alpha) </math> \\

Примечание здесь записаны поворот относительно подвижных осей. Что требует вычисления этих осей. 

====== Матрица поворота через углы: рыскание, тангаж и крен(yaw, pitch и roll). ======

{{:articles:200px-plane.svg.png|}}\\
Матрица летательного аппарата(далее Матрица ЛА).\\
Угловое положение летательного аппарата однозначно определяется 3 углами: \\
рыскание(ψ), тангаж(θ) и крен(γ).

Крен - это угол между осью проходящею через крыло и местной горизонтальной плоскостью. Термин местное взялся из-за того что земля круглая и обычно оно отсчитывается от местного положения. Но в играх обычно мир является плоским. \\
Тангаж - это угол между осью проходящею через хвост к носу ЛА и местной горизонтальной плоскостью.\\
Рысканье - это угол между осью проходящею через хвост к носу ЛА и начальным направлением. В качестве начального направления принято брать ось Ox стационарной системы координат.\\
Более формальное определение дано в [5].


Для вывода матрицы поворота будем действовать по шагам. 
Вспомним уровнение умножение матрицы на вектор. Оно используется для перехода в новую систему координат. 1. \\
1. <math>X_{new}=R*X </math> \\
Затем сделаем поворот по крену. Эту легко сделать так как ось Ox совпадает с OX.\\
2. <math>X_{new}=R_x*X </math> \\
Затем повернём по тангаж. Оси Oy совпадает с OY.\\
3.<math>X_{new}=R_y*X </math> \\
Затем повернём по углу рыскания, так как у нас ось Oz совпадает с OZ.\\
4.<math>X_{new}=R_z*X </math> \\
Отсюда видно что обобщённая матрица поворота будет равна 6. \\
5.<math>X_{new}=R_z(roll)*R_y(pitch)*R_x(yaw)*X </math> \\
6.<math>R=R_z(roll)*R_y(pitch)*R_x(yaw) </math> \\
Как результат мы получаем очень простую формулу для матрицы ЛА

Матрица ЛА в отличии от матрицы Эйлера требует гораздо меньше вычислений. Так как в момент вращения подвижные оси совпадают со стационарными.


----
Список литературы:\\
[1] http://www.femto.com.ua/articles/part_2/4600.html \\
[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Roll-pitch-yaw#Tait.E2.80.93Bryan_angles \\
[3] [[http://msdn.microsoft.com/en-us/library/windows/desktop/bb205361(v=vs.85).aspx]] \\
[4] http://www.gamedev.ru/code/articles/faq_matrix_quat \\
[5] http://window.edu.ru/resource/324/45324/files/dstu27.pdf \\
[6] http://www.youtube.com/watch?v=tRrydagL2aw \\