Существует две операции умножения над векторами.
Результатом первой является число(скаляр) отсюда и название скалярное произведение.
Результатом второго является вектор и оно носит название векторного произведение.

Часто в программирование первое обозначается, как DotProduct, а второе CrossProduct.

====== Скалярное произведение ======
===== Определение скалярного произведения =====
Скалярное произведение векторов <math>\mathbf{a} </math> и <math>\mathbf{b} </math> в пространстве <math>R^3</math>  - есть произведение длин векторов на угол между ними.\\
1. <math>\langle\mathbf{a} , \mathbf{b} \rangle= 
|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos \angle{(\mathbf{a},\mathbf{b})}  </math>

Формула скалярного произведения для <math> R^N </math> в водиться по аналогии с <math> R^3 </math>(см. [4]) как\\
2. <math>\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle=\mathbf{a}^T \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1+a_2 \cdot b_2+\dots+a_n \cdot b_n</math>\\
Тогда число в формуле 3 можно назвать углом между векторами.\\
3. <math> \frac{\langle \mathbf a, \mathbf b \rangle}{{\langle \mathbf a, \mathbf a \rangle}*{\langle \mathbf b, \mathbf b \rangle}}=cos(\phi) </math>\\
Это можно сделать в виду того, что левая часть не выходит за допустимое значения cos. Т.е больше -1 и меньше 1.

Так как формула 2 не требует вычисления cos и корня, то она вычисляется быстрее и обычно используется при расчётах.

Приняв скалярное произведение вектора себя на себя, как квадрат длины вектора формула 4, то можно переписать 3 в виде 5.\\
4. <math>{\langle \mathbf a, \mathbf b \rangle}={|\mathbf{a}|}^2</math>\\
5.<math> \frac{\langle \mathbf a, \mathbf b \rangle}{{|\mathbf{a}|}*{|\mathbf{b}|}}=cos(\phi) </math>\\

===== Свойства скалярного произведения =====
Скалярное произведения вектора на себя равно длине вектора в квадрате.\\
3. <math> \langle \mathbf a, \mathbf a \rangle = \|\mathbf a\|^2 </math>\\
Умножение на число.\\
4. <math>\langle \lambda\mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle=\lambda\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle=\langle \mathbf{a},\lambda\mathbf{b} \rangle </math>.\\
Дистрибутивость\\
5. <math>\langle \mathbf a,\mathbf b+\mathbf c \rangle = \langle \mathbf a, \mathbf b \rangle+\langle\mathbf a,\mathbf c \rangle </math>\\
Угол между векторами.\\
6. <math>\cos\theta = \frac{\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle}{\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|} </math>.

Проекции вектора <math>a </math> на вектор <math>b </math>, есть скалярное произведение делённое на длину вектора <math>b </math>.\\
7. <math> a_b=\frac{\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle}{\|\mathbf{b}\|} </math>

===== Код скалярного произведения =====
<code Pascal>
function DotProduct(a,b:TVectorN):Real;
var i:Integer;
begin
Result:=0;
for i:=0 to Length(a)-1 do
  Result:=Result+a[i]*b[i];
end;
</code>

**Входные параметры:**
  * Вектора реальных чисел a и b. 
**Выходные параметры:**
  * Реальное число равное скалярному произведению векторов.
**Примечание:**\\
  * Для реальных чисел данный код не является точным, так как не учитывает округления(См. [[ошибки в численных методах]]). Если вместо реальных чисел использовать целые переменной длиной или рациональные числа переменной длиной, то функция будет точной.

====== Векторное произведение ======
===== Определение векторного произведения =====

Векторным произведением вектора <math>a </math> на вектор <math>b </math> в пространстве <math>R^3</math> называется вектор <math>c </math>, удовлетворяющий следующим требованиям:\\
длина вектора <math>c </math> равна произведению длин векторов <math>a </math> и <math>b </math> на синус угла <math>\varphi </math> между ними: <math>\left| \mathbf c \right| = \left| \mathbf a \right| \left| \mathbf b \right| \sin \varphi </math>;\\
вектор <math>c </math> ортогонален каждому из векторов <math>a </math> и <math>b </math>;\\
вектор <math>c </math> направлен так, что тройка векторов <math>abc</math> является правой;\\


===== Свойства скалярного произведения =====

===== Код векторного произведения =====

<code Pascal>
function CrossProduct(a,b:TVector3):TVector3; 
begin
Result[0]:=a[1]*b[2]-a[2]*b[1];
Result[1]:=-a[0]*b[2]+a[2]*b[0];
Result[2]:=a[0]*b[1]-a[1]*b[0];
end;
</code>

**Входные параметры:**
  * Вектора реальных чисел a и b с числом элементов 3. 
**Выходные параметры:**
  * Вектор реальных чисел с числом элементов 3. Компоненты которого равны векторному произведению векторов a и b.


----
**Список литературы:**\\
[1] [[http://ru.wikipedia.org/wiki/Векторное_произведение]] \\
[2] Б. Н. ДЕЛОНЕ и Д. А. РАЙКОВ; Аналитическая геометрия; том. 1, 1948\\
[3] А. В. Погорелов, Геометрия, учебник для 7-11 класс средней школы.\\
[4] Мантуров О.В., Матвеев Н.М. Курс высшей математики Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 1986\\