Операция умножения матрицы на матрицу. Есть операция которая принимает на вход две матрицы и выдаёт одну. 
===== Определение =====
Пусть даны две прямоугольные матрицы <math>A </math> и <math>B </math> размерности <math>m \times n </math> и <math>n \times q </math> соответственно:\\
<math>
A = 
  \begin{bmatrix} 
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
    a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ 
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
    a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
  \end{bmatrix},\;
B =   
  \begin{bmatrix} 
    b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1q} \\
    b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2q} \\ 
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
    b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nq}
  \end{bmatrix}.
</math>\\
Тогда матрица <math>C </math> размерностью <math>m \times q </math> называется их ''произведением'':\\
<math>
C = 
  \begin{bmatrix} 
    c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1q} \\
    c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2q} \\ 
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
    c_{m1} & c_{m2} & \cdots & c_{mq}
  \end{bmatrix}
</math>;\\
где:\\
<math> c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} \;\;\; \left(i=1, 2, \ldots m;\; j=1, 2, \ldots q \right) </math>.

Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором; в этом случае говорят, что форма матриц ''согласована''. В частности, умножение всегда выполнимо, если оба сомножителя являются квадратными матрицами одного и того же порядка.

Следует заметить, что из существования произведения <math>AB </math> вовсе не следует существование произведения <math>BA </math>.

===== Свойства =====
''Сочетательное свойство'':\\
<math>\mathbf{A} ( \mathbf{B C} ) = ( \mathbf{A B} ) \mathbf{C}</math>;\\
<math>\lambda (\mathbf{AB}) = (\lambda\mathbf{A}) \mathbf{B} = \mathbf{A}(\lambda\mathbf{B})</math>.\\

''Распределительное свойство'':\\
<math>\mathbf{A} ( \mathbf{B} + \mathbf{C} ) = \mathbf{A B} + \mathbf{AC}</math>;\\
<math>( \mathbf{A} + \mathbf{B} ) \mathbf{C} = \mathbf{A C} + \mathbf{B C}</math>.\\

Произведение матрицы на [[Единичная матрица|единичную матрицу]] <math>\mathbf{I}</math> подходящего порядка равно самой матрице:\\
<math>\mathbf{IA} = \mathbf{A}</math>;\\
<math>\mathbf{AI} = \mathbf{A}</math>.\\

Произведение матрицы на [[Нулевая матрица|нулевую матрицу]] <math>\mathbf{0}</math> подходящей размерности равно нулевой матрице:\\
<math>\mathbf{0A} = \mathbf{0}</math>;\\
<math>\mathbf{A0} = \mathbf{0}</math>.

Если <math>\mathbf{A}</math> и <math>\mathbf{B}</math> — [[Матрица (математика)#Квадратная матрица и смежные определения|квадратные матрицы]] одного и того же порядка, то произведение матриц обладает ещё рядом свойств.

Умножение матриц в целом некоммутативно:\\
<math>\mathbf{AB} \ne \mathbf{BA}</math>.\\
Если <math>\mathbf{AB} = \mathbf{BA}</math>, то матрицы <math>\mathbf{A}</math> и <math>\mathbf{B}</math> называются перестановочными или коммутирующими между собой.

[[Определитель]] и [[След матрицы|след]] произведения не зависят от порядка умножения матриц:\\
<math>\det(\mathbf{AB}) = \det(\mathbf{BA}) = \det \mathbf{A} \cdot \det\mathbf{B}</math>;\\
<math>\mbox{tr}(\mathbf{AB}) = \mbox{tr}(\mathbf{BA})</math>.\\

Если матрица не вырождена, то у неё есть обратная матрица. Такая что произведение исходной и обратной даёт единичную матрицу.\\
<math> AA^{-1} = A^{-1}A = I</math>.

=====Алгоритмы перемножения матриц=====
Существует большое число алгоритмов умножения. И целый ряд быстрых алгоритмов основанных на группировки операций. 

==== Алгоритм умножения матриц по определению ====
=== Код умножения прямоугольных матриц по определению ===
<code=Pascal>
procedure Mul_Base(Var R:TMatrixNM; A:TMatrixNM; B:TMatrixNM);
var i, j, k: Integer;
 N,M,Q:Integer;
 Tmp:Real;
begin
  M:=RowsCount(A);
  N:=ColumnsCount(A);
  Q:=ColumnsCount(B);

  for i:=0 to M-1 do
    for j:=0 to Q-1 do
      begin
	Tmp:=0;
	for k:=0 to N-1 do
	  Tmp:=Tmp+A[i,k]*B[k,j];
        R[i,j]:=Tmp;
      end;
end;
</code>
**Входные параметры:**
  * Прямоугольная матрица A. 
  * Прямоугольная матрица B. 
**Выходные параметры:**
  * Прямоугольная матрица R.
**Примечание:**\\
  *Входные параметры не проверяются. Память под матрицу R должна быть выделена. Матрица R должна иметь число строк  равные числу строк матрицы A. Матрица R должен иметь число столбцов числу столбцов матрицы A.

**Описание:**\\
  *Умножение согласно определению. <math> c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} \;\;\; \left(i=1, 2, \ldots m;\; j=1, 2, \ldots q \right)  </math>
==== Алгоритм умножения с транспонированием ====
Идея алгоритма в том, что-бы ускорить умножения предварительно транспонировать вторую матрицу. Тогда обращение к элементам второй матрицы будет линейно по памяти, что даёт прирост. См. [[Транспонирование_матрицы#блочный_алгоритм_транспонирования|быстрый(блочный) алгоритм транспонирования]].

Помимо ускорения за счёт более оптимального использования доступа к памяти. Возможно использовать аппаратное распараллеливание при помощи команд SIMD(одна инструкция много данных)для ускорения обработки, обрабатывая за раз 4 числа.

В DirectX матрицы мира и вида хранятся и задаются в транспонированном виде. Поэтому во время работы программы матрицы уже транспонированы и их не надо транспонировать.

==== Код умножения с транспонированием ====
<code=Pascal>
procedure Transpose_Mul(Var R:TMatrixNM; A:TMatrixNM; B:TMatrixNM);
var i, j, k: Integer;
 N,M,Q:Integer;
 Tmp:Real;
 C:TMatrixNM;
begin
  if IsMatrixTranspose(B) then C:=B 
     else FastTranspose(C,B);  
     
  M:=RowsCount(A);
  N:=ColumnsCount(A);
  Q:=RowsCount(С);
 
  for i:=0 to M-1 do
    for j:=0 to Q-1 do
      begin
	Tmp:=0;
	for k:=0 to N-1 do
	  Tmp:=Tmp+A[i,k]*C[j,k];
        R[i,j]:=Tmp;
      end;
end;
</code>

Строки: 
<code=Pascal>
Tmp:=0;
for k:=0 to N-1 do
  Tmp:=Tmp+A[i,k]*C[j,k];
R[i,j]:=Tmp;
</code>
можно заменить векторным умножением 
<code=Pascal>
R[i,j]:=DotProduct(A[i],B[j]);
</code>


Строки: 
<code=Pascal>
if IsMatrixTranspose(B) then C:=B 
   else FastTranspose(C,B);  
</code>
Если на перёд известно, что матрица транспонирована, то достаточно вместо этих 2-х строк переименовать C в B.    

==== Блочный алгоритм умножения ====
<math>A=\left[\begin{array}{ccccc} A_1 & A_2 \\ A_3 & A_4 \\ \end{array}\right]</math>;\\

<math>B=\left[\begin{array}{ccccc} B_1 & B_2 \\ B_3 & B_4 \\ \end{array}\right]</math>;\\

<math>C=A*B</math>;\\

<math>C=\left[\begin{array}{ccccc} A_1*B_1+A_2*B_3 & A_1*B_2+A_2*B_4 \\ A_3*B_1+A_4*B_3 & A_3*B_2+A_4*B_4 \\ \end{array}\right]</math>;\\

==== Алгоритм Штрассена ====
==== Алгоритм Копперсмита — Винограда ====

----
Список литературы:\\
[1] [[http://ru.wikipedia.org/wiki/Умножение_матриц]] \\
[2] Р. Блейхут Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов\\
[3] http://www.youtube.com/watch?v=llwuoLzPbdE\\
[4] [[http://msdn.microsoft.com/en-us/library/windows/desktop/bb206269(v=vs.85).aspx]] \\