====== Преобразование Фурье ======


Различают 3 основных вида разложения:
  - Непрерывное преобразование Фурье.
  - Ряд Фурье.
  - Дискретное преобразование Фурье.

Рассмотрим подробнее каждое из них.

===== Непрерывное преобразование Фурье =====

<math>F(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-it\omega}\,dt.</math>

Где
  i - мнимая единица.
  f(t) - функция интегрируемая на всем интервале <math>({-\infty}..{+\infty})</math>

===== Ряд Фурье =====


<math>c_w = \int_{-T/2}^{+T/2} f(t)\ e^{-2\pi i(w/T) t} dt.\,</math>

Где :

f(t) - периодическая функция интегрируемая на участке <math>(-{T \over 2}..{T \over 2})</math>.\\
T    - период функции.

<math>c_w</math> - ряд комплексные переменных.

Если у нас функция не непрерывная, то возникает эффект Гиббса.

===== Дискретное преобразование Фурье =====

<math>X_w = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{2 \pi i}{N} w n} \qquad k = 0, \dots, N-1</math>

Преобразование над рядом дискретных отсчётов <math>x_n</math>.


В данном случае не требуется чтобы <math>x_n</math> была периодической. Но при этом наблюдается ещё один эффект именуемый //растеканием спектра//.
Так как дискретная функция есть не непрерывная, то всегда присутствует эффект Гиббса (([[http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:fooPtckQT0sJ:imaging.cs.msu.su/dspcourse2008/Lecture5.pps+%D1%8D%D1%84%D1%84%D0%B5%D0%BA%D1%82+%D0%93%D0%B8%D0%B1%D0%B1%D1%81%D0%B0&hl=en&pid=bl&srcid=ADGEESgGath-HshvHX6XLHWEvKRsW1XMYjHP1OFIfFLNJ36tV0M_p1nWEdXT9XNl8eipvcLcvj9dULOaii6wfPg6qhJINkoS2CqvqtZuvI_y3GarClK6QC-gQoxujMUQcPr894yI-wZk&sig=AHIEtbTW1KGuzMqVfNg2LoowPymqDRumTg&pli=1|эффект Гиббса]])).

==== Быстрое преобразование Фурье (БПФ) ====

Существует множество алгоритмов, которые позволяют ускорить дискретное преобразовании Фурье вплоть до скорости <math>O(n log(n))</math>. 

==== Практическое применения преобразования Фурье ====

На практике мы можем встречаться с различными функциями. Чаще всего это оцифрованный сигнал.  А это значит что функция у нас дискретная. А так как обработка идёт порциями. И зашумлёна, то не является периодической. Поэтому эффект Гиббса и растекание спектра присутствуют всегда. Для борьбы с этими эффектами было предложено использовать оконные функции. А при фильтрации так еще и применять их с перекрытием.