Различают 3 основных вида разложения:
Рассмотрим подробнее каждое из них.
<math>F(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-it\omega}\,dt.</math>
Где
i - мнимая единица.
f(t) - функция интегрируемая на всем интервале <math>({-\infty}..{+\infty})</math>
<math>c_w = \int_{-T/2}^{+T/2} f(t)\ e^{-2\pi i(w/T) t} dt.\,</math>
Где :
f(t) - периодическая функция интегрируемая на участке <math>(-{T \over 2}..{T \over 2})</math>.
T - период функции.
<math>c_w</math> - ряд комплексные переменных.
Если у нас функция не непрерывная, то возникает эффект Гиббса.
<math>X_w = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{2 \pi i}{N} w n} \qquad k = 0, \dots, N-1</math>
Преобразование над рядом дискретных отсчётов <math>x_n</math>.
В данном случае не требуется чтобы <math>x_n</math> была периодической. Но при этом наблюдается ещё один эффект именуемый растеканием спектра. Так как дискретная функция есть не непрерывная, то всегда присутствует эффект Гиббса 1).
Существует множество алгоритмов, которые позволяют ускорить дискретное преобразовании Фурье вплоть до скорости <math>O(n log(n))</math>.
На практике мы можем встречаться с различными функциями. Чаще всего это оцифрованный сигнал. А это значит что функция у нас дискретная. А так как обработка идёт порциями. И зашумлёна, то не является периодической. Поэтому эффект Гиббса и растекание спектра присутствуют всегда. Для борьбы с этими эффектами было предложено использовать оконные функции. А при фильтрации так еще и применять их с перекрытием.