Содержание

Преобразование вида называется преобразованием подобия.

1) $G=F^{-1}*A*F$
Где F - невырожденная матрица.

Свойство подобия заключается в том, что такое преобразование не изменяет собственных значений матрицы.

Доказательство.

Пусть:

n - есть собственное число g - есть собственный вектор матрицы G

Согласно определению собственных чисел матрицы.

2) $n*g=G*g$

Подставим 2) в 1)

3) $n*g=F^{-1}*A*F*g$

Домножим на F слева

$F*n*g=F*F^{-1}*A*F*g$

$n*(F*g)=A*(F*g)$

Обозначим (F*g) как a. Это будет вектор.

4) $n*a=A*a$

Отсюда видно что n является собственным числом матрицы A. Что и требовалось доказать.

Другие преобразования подобия.

$G=F^{-1}*A*F$

$G=F*A*F^{-1}$

$G=U^{-H}*A*U$

$G=U*A*U^{-H}$

$G=Q^{-T}*A*Q$

$G=Q*A*Q^{-T}$

Здесь F - произвольная квадратная матрица. Здесь U - унитарная матрица. Здесь Q - симметрическая матрица.

Легко доказываются с использованием свойств этих матриц. И свойства обратной матрицы.

Список литература:
[1]Р.Хорн, Ч.Джонсон. -Матричный анализ.-Мир(1985)
стр 60. Раздел 1.3
[2]Калиткин Н.Н. Численные методы. 1987 г. издательство «Наука»
http://neo-chaos.narod.ru/useful/nummethod/kalitkin_06_156-193.pdf

Содержание

Программирование

Системы и технологии