Преобразование вида называется преобразованием подобия.
1)
Где F - невырожденная матрица.
Свойство подобия заключается в том, что такое преобразование не изменяет собственных значений матрицы.
Доказательство.
Пусть:
n - есть собственное число g - есть собственный вектор матрицы G
Согласно определению собственных чисел матрицы.
2)
Подставим 2) в 1)
3)
Домножим на F слева
Обозначим (F*g) как a. Это будет вектор.
4)
Отсюда видно что n является собственным числом матрицы A. Что и требовалось доказать.
Другие преобразования подобия.
Здесь F - произвольная квадратная матрица. Здесь U - унитарная матрица. Здесь Q - симметрическая матрица.
Легко доказываются с использованием свойств этих матриц. И свойства обратной матрицы.
Список литература:
[1]Р.Хорн, Ч.Джонсон. -Матричный анализ.-Мир(1985)
стр 60. Раздел 1.3
[2]Калиткин Н.Н. Численные методы. 1987 г. издательство «Наука»
http://neo-chaos.narod.ru/useful/nummethod/kalitkin_06_156-193.pdf