Матрица транспонированная к A обозначается как .

Операция транспонирования определена как смена индексов в матрице. Матрица не обязательно квадратная.

Соответственно изменяется и число строк и столбцов.
Пример,

Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.

Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.

Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.

При транспонировании можно выносить скаляр.

Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

procedure Transpose(var R:TMatrixNM; A:TMatrixNM);
var i,j:Integer;
begin
for i:=0 to RowsCount(A)-1 do
 for j:=0 to ColumnsCount(A)-1 do
  R[j,i]:=A[i,j];
end;

Входные параметры:

• Прямоугольная матрица A.

Выходные параметры:

• Прямоугольная матрица R.

Примечание:

• Память под матрицы A и R должна быть выделена. Матрица R должна иметь число столбцов равное числу строк матрицы A. Матрица R должна иметь число строк равное числу столбцов матрицы A

Матрица A разбивается на 4 под матрицы , , , . Вначале производиться перестановка подматриц согласно правилу транспонирования, а затем выполняется транспонирования элементов подматриц. Алгоритм продолжается рекурсивно до тех пор пока прямой алгоритм не будет быстрее или не останется 1 элемент.

Блочный алгоритм транспонирования применяется для ускорения транспонирования. Когда доступ к элементам последовательно быстрее чем в произвольном порядке. В современном компьютере есть система кэшей разных уровней, что создаёт такую неравномерность в скорость.

Наиболее наглядную демонстрацию можно получить для больших матриц не помещающихся в RAM и хранящихся на HDD.

Алгоритм транспонирования на месте или алгоритм без использования дополнительной памяти.

Список литературы:
[1] Т.С. Хуанг -Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений.
библиотека Гугл
[2] Р.Хорн, Ч.Джонсон. -Матричный анализ.-Мир(1989)
стр. 18. Глава 0.2.5