Существует две операции умножения над векторами. Результатом первой является число(скаляр) отсюда и название скалярное произведение. Результатом второго является вектор и оно носит название векторного произведение.

Часто в программирование первое обозначается, как DotProduct, а второе CrossProduct.

Скалярное произведение

Определение скалярного произведения

Скалярное произведение векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ в пространстве $R^3$ - есть произведение длин векторов на угол между ними.
1. $\langle\mathbf{a} , \mathbf{b} \rangle= |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos \angle{(\mathbf{a},\mathbf{b})}$

Формула скалярного произведения для $R^N$ в водиться по аналогии с $R^3$ (см. [4]) как
2. $\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle=\mathbf{a}^T \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1+a_2 \cdot b_2+\dots+a_n \cdot b_n$
Тогда число в формуле 3 можно назвать углом между векторами.
3. $\frac{\langle \mathbf a, \mathbf b \rangle}{{\langle \mathbf a, \mathbf a \rangle}*{\langle \mathbf b, \mathbf b \rangle}}=cos(\phi)$
Это можно сделать в виду того, что левая часть не выходит за допустимое значения cos. Т.е больше -1 и меньше 1.

Так как формула 2 не требует вычисления cos и корня, то она вычисляется быстрее и обычно используется при расчётах.

Приняв скалярное произведение вектора себя на себя, как квадрат длины вектора формула 4, то можно переписать 3 в виде 5.
4. ${\langle \mathbf a, \mathbf b \rangle}={|\mathbf{a}|}^2$
5. $\frac{\langle \mathbf a, \mathbf b \rangle}{{|\mathbf{a}|}*{|\mathbf{b}|}}=cos(\phi)$

Свойства скалярного произведения

Скалярное произведения вектора на себя равно длине вектора в квадрате.
3. $\langle \mathbf a, \mathbf a \rangle = \|\mathbf a\|^2$
Умножение на число.
4. $\langle \lambda\mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle=\lambda\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle=\langle \mathbf{a},\lambda\mathbf{b} \rangle$ .
Дистрибутивость
5. $\langle \mathbf a,\mathbf b+\mathbf c \rangle = \langle \mathbf a, \mathbf b \rangle+\langle\mathbf a,\mathbf c \rangle$
Угол между векторами.
6. $\cos\theta = \frac{\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle}{\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|}$ .

Проекции вектора $a$ на вектор $b$ , есть скалярное произведение делённое на длину вектора $b$ .
7. $a_b=\frac{\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle}{\|\mathbf{b}\|}$

Код скалярного произведения

function DotProduct(a,b:TVectorN):Real;
var i:Integer;
begin
Result:=0;
for i:=0 to Length(a)-1 do
  Result:=Result+a[i]*b[i];
end;

Входные параметры:

Вектора реальных чисел a и b.

Выходные параметры:

Реальное число равное скалярному произведению векторов.

Примечание:

Для реальных чисел данный код не является точным, так как не учитывает округления(См. ошибки в численных методах). Если вместо реальных чисел использовать целые переменной длиной или рациональные числа переменной длиной, то функция будет точной.

Векторное произведение

Определение векторного произведения

Векторным произведением вектора $a$ на вектор $b$ в пространстве $R^3$ называется вектор $c$ , удовлетворяющий следующим требованиям:
длина вектора $c$ равна произведению длин векторов $a$ и $b$ на синус угла $\varphi$ между ними: $\left| \mathbf c \right| = \left| \mathbf a \right| \left| \mathbf b \right| \sin \varphi$ ;
вектор $c$ ортогонален каждому из векторов $a$ и $b$ ;
вектор $c$ направлен так, что тройка векторов $abc$ является правой;

Свойства скалярного произведения

Код векторного произведения

function CrossProduct(a,b:TVector3):TVector3; 
begin
Result[0]:=a[1]*b[2]-a[2]*b[1];
Result[1]:=-a[0]*b[2]+a[2]*b[0];
Result[2]:=a[0]*b[1]-a[1]*b[0];
end;

Входные параметры:

Вектора реальных чисел a и b с числом элементов 3.

Выходные параметры:

Вектор реальных чисел с числом элементов 3. Компоненты которого равны векторному произведению векторов a и b.

Список литературы:
[1] http://ru.wikipedia.org/wiki/Векторное_произведение
[2] Б. Н. ДЕЛОНЕ и Д. А. РАЙКОВ; Аналитическая геометрия; том. 1, 1948
[3] А. В. Погорелов, Геометрия, учебник для 7-11 класс средней школы.
[4] Мантуров О.В., Матвеев Н.М. Курс высшей математики Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 1986

Скалярное произведение

Определение скалярного произведения

Свойства скалярного произведения

Код скалярного произведения

Векторное произведение

Определение векторного произведения

Свойства скалярного произведения

Код векторного произведения

Содержание

Программирование

Системы и технологии